第十九章 欧几里得证明素数无穷 (第1/1页)

    欧几里得学生卡农对欧几里得说：“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数？”

    欧几里得说：“用辗转相除法就可以，如果求a和b的最大公约数，如果a大于b，那就是a除以b，然后得到余数，然后再让除数b除以余数，然后一直让除数除以余数，最后余数为0的时候，得到的除数就是a和b的最大公约数。”

    卡农说：“假如说1997和615这两个数字。”

    欧几里得说：“1997除以615，等于3余出152。”

    卡农说：“然后怎么求？”

    欧几里得说：“除数除以余数，615除以152等于4余7.”

    卡农说：“然后152除以7等于21余5.”

    欧几里得接着说：“没错，然后7除以5，等于1余2.”

    卡农说：“5除以2，等于2余1.”

    欧几里得说：“2除以1，等于2余0.”

    卡农说：“不能再往下了，余数已经为0，所以1997和615的最大公约数为1.”

    欧几里得说：“所以说，相当于没有最大公约数。”

    在以上基础上，后来数学中发展了环的概念，整环R是符合一下接个要求的：

    1、A关于加法成为一个Abel群（其零元素记作0）；

    2、乘法满足结合律：(a*b)*c=a*(b*c)；

    3、乘法对加法满足分配律：a*(b c)=a*b a*c，(a b)*c=a*c b*c；

    如果环A还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：

    4、乘法交换律：a*b=b*a。

    如果交换环A还满足以下两条件，就称为“整环”（integraldomain）：

    5、A中存在非零的乘法单位元，即存在A中的一个元素，记作1，满足：1不等于0，且对任意a，有：e*a=a*e=a；

    6、ab=0=>a=0或b=0。

    而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。